Trigonometrie (z řeckého trigónon, trojúhelník a metrein, měřit) je oblast goniometrie zabývající se užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících. Trigonometrie se dělí na trigonometrii rovinnou a na trigonometrii sférickou (trigonometrie útvarů na kulové ploše). Trigonometrie má základní význam při triangulaci, která se používá k měření vzdáleností mezi dvěma hvězdami, v geodézii k měření vzdálenosti dvou bodů a v satelitních navigačních systémech. V angličtině se trigonometrie a goniometrie souhrnně označuje jako trigonometry.

 

Historie trigonometrie[editovat | editovat zdroj]

První poznatky z trigonometrie lze prokázat již u Egypťanů. Podobné znalosti měli také Babyloňané a Chaldejci, od kterých převzali Řekové dnešní dělení plného úhlu na 360° a stupně na 60 minut. První práce o trigonometrii souvisely s problémem určení délky tětivy vzhledem k velikosti úhlu. První tabulky délek tětiv pocházejí od řeckého matematika Hipparcha z roku 140 př. n. l., další tabulky sepsal zhruba o 40 let později Melenaus, řecký matematik žijící v Římě. Práce starořeckých vědců vyvrcholila Ptolemaiovým dílem Megale syntaxis (Velká soustava), v níž Ptolemaios vypočítal tabulku délek tětiv kružnice, jež měla poloměr až 60 délkových jednotek a kdestředový úhel, k němuž se délky vztahovaly, postupoval po 0,5°.

Od 5. století začali pak trigonometrii budovat Indové, od kterých pochází dnešní název pro sinus, a po nich vědci Střední Asie a Arabové. Z Indů se trigonometrii nejvíce věnoval Brahmagupta (7. století), z vědců Střední Asie aArábie je pak třeba vzpomenout syrského astronoma al-Battáního.

Evropa se s trigonometrií seznámila díky západním Arabům. K rozvoji trigonometrie významně přispěl polský astronom Mikuláš Koperník, stejně tak i francouzský matematik François Viète, který představil kosinovou větu v trigonometrické podobě. Dnešní podobu trigonometrie jakožto vědu o goniometrických funkcích ve svém díle Introductio in analysin infinitorum (Úvod do analýzy) vytvořil Leonhard Euler. Poprvé zkoumal hodnoty sin x, cos x jakočísla, nikoli jako úsečky, a jako hodnoty proměnné připouštěl kladná i záporná čísla.

Trigonometrické věty a vzorce[editovat | editovat zdroj]

• Sinová věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

.

• Kosinová věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

• Tangentová věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

• Pro obsah každého trojúhelníku ABC s vnitřními úhly α, β, γ a se stranami a, b, c platí:

• Pro poloměr r kružnice opsané trojúhelníku ABC platí: