Charakteristika metod a cílů matematiky
Mezi jinými vědami se matematika vyznačuje nejvyšší mírou abstrakce a přesnosti. Díky těmto vlastnostem je často označována za královnu věd[1]. Tzv. matematický důkaz je nejspolehlivější známý způsob, jak ověřovat pravdivost tvrzení. V matematice jsou za spolehlivá považována pouze ta tvrzení (nazývané věty), ke kterým je znám matematický důkaz. Nové pojmy jsou vytvářeny jednoznačnými definicemi z pojmů již zavedených.
Pro současnou matematiku je typická vysoká přesnost, zajišťovaná úplnou formalizací. Je-li stanoveno několik základních tvrzení (tzv. axiomy), je z nich možné s použitím odvozovacích pravidel založených na logice odvodit další pravdivá tvrzení pomocí formálních důkazů. Výklad matematických poznatků tak spočívá v definování nových pojmů, formulování platných vět o nich (případně takových vět, které je dávají do souvislosti s pojmy staršími) a dokazování pravdivosti těchto vět. Matematické práce mají proto často strukturu „definice – věta – důkaz“ s minimem doplňujícího textu či zcela bez něj. Stejně jako v jiných vědních disciplínách se také může objevit formulace neověřené hypotézy – předpokladu (jako výzva k jejímu dokázání či vyvrácení) nebo položení dosud nezodpovězené otázky.
Některé z matematikou vytvářených abstraktních pojmů slouží k vysvětlení či snadnějšímu uchopení pojmů dalších, jiné slouží v jiných vědních oborech jako nástroj k popisu určitých jevů nebo jako idealizovaný model reálných objektů či systémů, další pak umožňují precizaci a rozvoj konceptů a myšlenek některých disciplín filozofie. Zákonitosti objevené mezi těmito pojmy lze při vhodné aplikaci zpětně přeformulovat jako pravidla a vlastnosti skutečného světa nebo jako obecně platné teze. To však již není úkolem matematiky, nýbrž příslušné jiné disciplíny.
Vznik matematiky byl zapříčiněn především potřebou řešit praktické úlohy, jako například různé obchodní úlohy, vyměřování a dělení pozemků, stavebnictví a měření času. Historie matematiky sahá až do pravěku, kdy vznikly první abstraktní matematické pojmy – přirozená čísla. Velký rozvoj prodělala v antickém Řecku, kde výrazných úspěchů dosáhla zejména geometrie. Další etapou prudkého rozvoje matematiky byl raný novověk, kdy byly především Descartem ustaveny základy matematické analýzy. Poté se díky práci Newtona, Leibnize, Eulera, Gausse a dalších matematiků podařilo dosáhnout zásadních výsledků v oblasti analýzy zejména položením základů diferenciálního a integrálního počtu.
Jiným významným obdobím dějin matematiky byl přelom 19. a 20. století, kdy zkoumání dokazatelnosti tvrzení bylo postaveno na solidní a formální základ, objevy v matematické logice a zavedením axiomatické teorie množin. Touto dobou začaly být též zkoumány abstraktní struktury, což umožňuje jedním důkazem ověřit matematické tvrzení pro širokou skupinu matematických objektů. Vyvrcholením tohoto trendu byl v polovině 20. století vznik teorie kategorií, která je pokládána za nejobecnější a nejabstraktnější matematickou disciplínu.
Matematické disciplíny[editovat | editovat zdroj]
- Strukturovaný seznam všech základních oborů matematiky naleznete v článku Seznam matematických disciplín.
Hlavní klasické disciplíny matematiky se vyvinuly ze čtyř praktických lidských potřeb – potřeby počítat při obchodování, porozumět vztahům mezi číselně vyjádřenými množstvími, vyměřování pozemků a staveb a předpovídáníastronomických jevů. Z těchto čtyř potřeb vznikly čtyři klasické matematické disciplíny – po řadě aritmetika, algebra, geometrie a matematická analýza, které se zabývají zhruba řečeno čtyřmi základními oblastmi zájmu matematiky – kvantitou, strukturou, prostorem a změnou. Později se díky snahám zastřešit tyto čtyři disciplíny jednotnou matematickou teorií a dosáhnout co největší přesnosti a nezpochybnitelnosti výsledků rozvinulo několik vzájemně provázaných disciplín nazývaných souhrnně základy matematiky. Tyto disciplíny kromě výše zmíněného umožnily také hlubší propojení matematiky s filozofií či rozvoj teoretické informatiky. Ve 20. století zaznamenaly ohromný rozvoj disciplíny aplikované matematiky, které slouží jako důležité nástroje v nejrůznější oborech lidské činnosti.
Kvantita[editovat | editovat zdroj]
Studium kvantity je vůbec nejstarší oblastí matematiky. Jeho počátky se objevují již v pravěku, kdy dochází k porozumění pojmu přirozeného čísla. Postupem času následuje vytváření základních aritmetických operací a rozšiřování číselného oboru přes čísla celá,racionální, reálná a komplexní až k různým specializovaným číselným oborům jako jsou hyperkomplexní čísla, kvaterniony, oktoniony, ordinální a kardinální čísla nebo surreálná čísla.
I v teorii přirozených čísel zůstává dosud mnoho snadno formulovatelných otevřených problémů, např. hypotéza prvočíselných dvojic nebo Goldbachova hypotéza. Zřejmě nejslavnější problém celé matematiky, velká Fermatova věta, byl vyřešen v roce 1995 po 350 letech marných pokusů.
Struktura[editovat | editovat zdroj]
Mnoho matematických objektů jako množiny čísel či funkcí vykazují jistou vnitřní strukturu. Abstrahováním některých z těchto strukturálních vlastností vznikly pojmy grupa ( skupina ), okruh, těleso a další. Studiem těchto abstraktních konceptů se zabývá algebra. Její důležitou součástí je lineární algebra, která se zabývá studiem vektorových prostorů, jež v sobě kombinují tři ze čtyř okruhů zájmu matematiky – kvantitu, strukturu a prostor. Diferenciální a integrální počet přidává k těmto třem okruhům i čtvrtý – změnu.
Prostor[editovat | editovat zdroj]
Studium prostoru začíná v matematice již ve starověku geometrií – konkrétně euklidovskou. Trigonometrie přibírá do hry fenomén kvantity. Základním tvrzením této kvantitativní geometrie je Pythagorova věta. V pozdějších dobách dochází k zobecňování směrem k vícedimenzionálním prostorům, neeuklidovským geometriím a topologii. Uvažováním v kvantitativních sférách se dostáváme k analytické, diferenciální a algebraické geometrii. Diferenciální geometrie se zabývá studiem hladkých křivek a ploch v prostoru, algebraická pak geometrickou reprezentací množin kořenů polynomů více proměnných. Topologické grupy v sobě kombinují fenomény prostoru a struktury, Lieovy grupy přidávají navíc ještě změnu.
Změna[editovat | editovat zdroj]
Pochopení a popis změny je základní snahou přírodních věd. Mocným nástrojem k uchopení fenoménu změny je kalkulus matematické analýzy, který využívá konceptu funkce. Studiem funkcí na oboru reálných čísel se zabývá reálná analýza, obdobnou disciplínou prokomplexní případ je komplexní analýza. Její součástí je pravděpodobně nejslavnější i nejtěžší nevyřešený problém současné matematiky – Riemannova hypotéza. Funkcionální analýza se zabývá studiem přirozeně vznikajících prostorů funkcí, jednou z mnoha aplikací tohoto oboru je kvantová mechanika. Pomocí diferenciálních rovnic je možné studovat problematiku změn kvantitativních veličin. Vysoce složité přírodní systémy slouží jako inspirace pro studium dynamických systémů a teorie chaosu.
 |
 |
 |
 |
 |
| Matematická analýza | Vektorový počet | Diferenciální rovnice | Dynamické systémy | Teorie chaosu |
Základy matematiky a filozofie[editovat | editovat zdroj]
Ve snaze objasnit a zpřesnit základní kameny matematiky byly na konci 19. století položeny základy disciplínám teorie množin a matematické logiky, jež bývají souhrnně označovány jako základy matematiky. Na pomezí základů matematiky a abstraktní algebry ležíteorie kategorií.
Matematická logika poskytuje pevný axiomatický rámec celé matematice a svojí maximální přesností zaštiťuje nezpochybnitelnost všech matematických výsledků. Teorie důkazu precizuje a matematizuje základní principy rozumového odvozování a nutného vyplývání.Teorie modelů studuje logické koncepty pomocí algebraických metod. Formální studium aritmetických teorií jako jsou Robinsonova či Peanova aritmetika má velký význam i pro filozofické otázky týkající se hranic deduktivní metody. Odpovědí na většinu těchto otázek je nejslavnější výsledek celé logiky – Gödelovy věty o neúplnosti. Teorie rekurze má velký význam pro teoretické základy informatiky.
Teorie množin je často označována jako „svět matematiky“. Každá jiná matematická disciplína může být považována za součást teorie množin. Kromě toho má teorie množin vlastní obor studia zaměřený z větší části na pochopení a popis fenoménu nekonečna v jeho aktuální podobě. Slavným problémem teorie množin byla hypotéza kontinua, filozofické dopady má otázka axiomu výběru.
Diskrétní matematika[editovat | editovat zdroj]
Jako diskrétní matematika se označují oblasti matematiky, které se zabývají studiem konečných diskrétních systémů. Její podobory mají obvykle velký praktický význam v informatice a programování. Patří sem disciplíny jako teorie složitosti, teorie informace nebo studium teoretických modelů počítačů, jakým je Turingův stroj. Teorie výpočetní složitosti se zabývá časovou náročností algoritmů zpracovávaných v počítačích, teorie informace možnostmi efektivního skladování informací na záznamových médiích – studuje pojmykomprese dat, entropie apod. Nejslavnějším problémem těchto disciplín je „problém P = NP“. Dalšími součástmi diskrétní matematiky jsou kombinatorika, teorie grafů nebo kryptografie.
Aplikovaná matematika[editovat | editovat zdroj]
Aplikovaná matematika používá abstraktní matematické nástroje k řešení praktických problémů z jiných oblastí vědy, obchodu apod. Statistika používá teorii pravděpodobnosti k popisu, analýze a předpovídání jevů, v nichž hraje důležitou roli náhoda. Numerická matematika vytváří a teoreticky zaštiťuje počítačové výpočetní metody pro řešení širokého spektra úloh příliš náročných pro člověka. Využívá ji počítačové modelování s mnoha aplikacemi při popisu a předpovědi fyzikálních, meteorologických, sociologických,chemických a jiných jevů. Ve světě obchodu a bankovnictví hraje důležitou roli finanční matematika. K popisu ekonomických fenoménů slouží často jazyk a výsledky teorie her.
