Algebra je odvětví matematiky zabývající se abstrakcí pojmů a vlastností elementárních matematických objektů, jako jsou čísla, polynomy, matice, apod. Historicky se dělí na elementární algebru, která byla úzce spjata s vlastnostmi konkrétních objektů a zabývala se zejména symbolickou manipulací s výrazy a řešením rovnic. Abstraktní algebra (též moderní algebra) studuje obecné algebraické struktury.

Etymologie

Slovo „algebra“ pochází z arabského الجبر (al-džabr). Bylo přejato z názvu knihy al-Kitáb al-Džabr wa-l-Muqabala („Souhrnné pojednání o počítání pomocí doplňování a vyrovnávání“) perského matematika Muhammada al-Chwārizmīho, ve které se mimo jiné poprvé objevil obecný postup pro řešení lineárních a kvadratických rovnic za použití symbolů (neznámých) a základních operací s těmito symboly.

Historie[editovat | editovat zdroj]

Algebra se vyvinula na základě aritmetiky. Za otce oboru lze považovat perského matematika Al-Chorezmího, který poprvé formuloval obecný postup na řešení kvadratických rovnic. Až do poloviny 19. století se algebrou rozuměla teorie řešení rovnic (zejména polynomiálních) a symbolická manipulace s výrazy, dnes tuto část algebry nazýváme elementární algebrou. Důležitými mezníky teorie rovnic bylo nalezení postupů pro řešení kubických a kvartických rovnic v polovině 16. století. Za přelom mezi elementární a abstraktní algebrou lze považovat práci francouzského matematika Évarista Galoise z počátku 19. století, ve které Galois elegantně vysvětlil, proč neexistuje vzorec na řešení rovnic pátého a vyššího stupně. Moderní algebra ve své současné podobě a terminologii byla definována přelomovou knihou Moderne algebra německého matematika Bartela van der Waerdena.

Základní disciplíny[editovat | editovat zdroj]

Algebra je velmi široký obor a člení se na řadu disciplín s různou motivací, různým cílem a různými metodami práce.

• Elementární algebra – elementární algebrou se dnes rozumí zejména symbolická manipulace s výrazy (tak jak se učí např. na základních a středních školách)
• Lineární algebra – motivací je lineární geometrie, objekty studia vektorové prostory, matice atd.
• Komutativní algebra – motivací jsou společné vlastnosti čísel, polynomů atd., objekty studia okruhy, obory integrity, tělesa atd.
• Teorie grup – motivací jsou společné vlastnosti regulárních matic, permutací, geometrických symetrií atd., základním objektem je grupa
• Teorie reprezentací – motivací jsou abstraktní geometrické vlastnosti symetrií a jejich lineární reprezentace, základním objektem je okruh a modul
• Univerzální algebra – motivací jsou společné vlastnosti algebraických struktur
• atd.

Algebra má řadu aplikací v matematice i jiných vědách. Důkazem je řada hraničních disciplín, např.

• Algebraická geometrie – předmětem studia jsou geometrické objekty definované pomocí polynomiálních rovnic
• Algebraická topologie – využití algebraických metod k popisu homotopických invariantů topologických prostorů
• Algebraická teorie čísel – aplikace komutativní algebry na různé číselné obory
• Algebraická kombinatorika
• Výpočetní algebra

Mezi vědy, které využívají algebracké výsledky, patří zcela jistě fyzika (např. výsledky teorie grup k popisu symetrií), informatika (např. abstraktní specifikace databází), kryptografie (kryptosystémy založené na eliptických křivkách, algebraická kryptoanalýza), nebobiologie (využití v sekvenční analýze DNA).